tai139

【转载】上中学之前一定要让孩子知道《几何原本》

上中学之前一定要让女儿知道《几何原本》,可是,现在市面上的这本书孩子很难看懂,因为,现在的译本太忠实于原文,所以,我重新整理了这本数学巨著,使它更适合学生和非数学专业的家长阅读。
让孩子从小养成科学思考的习惯和熟悉科学研究的程序非常必要。欧几里得和《几何原本》的故事是开启孩子科学思维训练的最佳教材。这并不是说让家长去看《几何原本》,至少,家长一定要知道它们的故事,这个故事就在下面。
与寻常年份不同,公元前320年,谁也说不清楚到底是春天还是夏天,这个世界上多了一本书……
有一位伟大的人物在这期间从事了一项伟大的事业。这项伟大的事业对于我们的历史或者说是数学史意义非凡。这位伟大的人物就是欧几里得。这项伟大的事业就是他写成了一本书。这本书的名字叫《几何原本》。
当然,他还写了其他一些书,不过,只有这本书属于可以改变历史的书,你可以不读这本书——除非你学数学专业,但是,你不可以不知道这本书。
与这位伟大的人物和他所从事的伟大事业相比,我们对欧几里得的生活知之甚少,甚至连他的出生地都不知道,对此,所有的人都感到万分遗憾。事实上,我们只是通过普罗克洛斯的关于欧几里得第一卷的评注才多少知道欧几里得——除了书本身之外的——很少一些事情,而且,那已经是600年之后了。
历史学家告诉我们,公元前325年,亚历山大大帝征服了希腊和近东、埃及,他在富庶的尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城。亚历山大大帝死后,他创建的帝国分裂为三个独立的王国,但仍在古希腊文化的约束下,历史上也称他们为希腊化国家。这三个独立王国之一,统治了埃及的托勒密一世大力提倡学术,多方网罗人才,在亚历山大里亚建立起一座座空前宏伟的博物馆和图书馆,使这里取代雅典,一跃而成为古代世界的学术文化中心,繁荣几达千年之久!要把这段历史说清楚,还要从亚历山大大帝说起,前面说过,亚历山大大帝还是柏拉图学园亚里士多德的学生。
伯罗奔尼撒战争之后,是希腊诸国政治上分裂的时期。这给北方新兴的、强大的马其顿王国的入侵提供了方便。马其顿的菲利普王逐步向南扩张其势力,而狄摩西尼大声疾呼、提出警告,但是无人理睬。由于希腊人联合防御过迟,结果随着雅典人公元前338年在凯隆尼亚的失败,希腊便沦为马其顿帝国的一部分。
希腊诸国沦陷两年以后,野心勃勃的亚历山大大帝继承他父亲菲利普未竟的事业,发动了空前的侵略战争,将文明世界的大部分区域并入新兴的马其顿帝国之版图。在他的军队取得胜利的地方,他选择了良好的位置,建造了一系列的城市。当亚历山大大帝进入埃及以后,在公元前332年建筑的亚历山大里亚就是这样的一座城市。在那之前,柏拉图的老师苏格拉底已经逝世了73年,柏拉图也近垂垂暮年,他的学生亚里士多德——这位亚历山大大帝的老师正忙于把演绎逻辑系统化。
据说,亚历山大里亚的规划、施工和移民,是亚历山大大帝亲自指挥的。而直接负责该项工程的则是著名的建筑师狄诺克拉底。9年之后,亚历山大大帝撒手人寰。
亚历山大里亚城从开始就显示出它的光辉前景。在极短的时间里,便奇迹般地成为富有而壮丽的世界性的城市。关键在于它是许多重要的贸易渠道的交叉点。在公元前300年左右,它就有50000居民。
大约公元前306年,托勒密开始统治埃及。他把亚历山大大里亚定为首都。为了吸引有学问的人到这个城市来,便立即着手建立了著名的亚历山大大学。这所大学是这一类大学的第一所,并且就其规模和建制来说,可同现代大学相媲美。
据记载,建立它花费不小。它的吸引人的、精心制定的计划包括教室、实验室、花园、博物馆、图书馆还有生活区。该大学的中心是大图书馆。这座图书馆在很长时间内被当作是收集世界各地学术著作最多的宝库,在其创建的40年内,号称拥有超过60万卷纸草书。该大学大约建成于公元前300年,它使亚历山大里亚成为希腊民族的精神文明首府,并持续了将近1000年。
为了把知名的学者延聘到大学里任职,托勒密向雅典聘请了著名的法勒琉斯主持大图书馆。一些有才能的人被选拨出来,研究各种学术问题,其中就有欧几里得,他可能是从雅典来的,在那里主持数学系。用我们今天的叫法就是“数学系主任”。
遗憾的是,人们除了知道他是亚历山大大学的数学教授和大名鼎鼎的、历时长久的亚历山大学派的奠基人之外,对于他的生活和性格知道的很少,甚至连他的出生年月与地点都不清楚。有人估计他很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练,因为人们再也想不出还有哪个地方可以培养出这么出类拔萃的数学家了。
许多年后,当人们将欧几里得和阿波洛尼乌斯相比而贬抑后者时,帕普斯赞许欧几里得的谦虚谨慎和关怀他人。
普罗克拉斯还在其《欧德姆斯概要》中增添了一个常说的欧几里得的故事:当托勒密向欧几里得询问学习几何知识的捷径时,他答道:“在几何学中没有专为皇帝铺设的大道。”也有的说,斯托贝乌斯讲过另一个关于欧几里得教学生学几何的故事,说的是:当一个学生问他学这门学科会得到什么时,欧几里得便命令一个奴隶给他一个便士。他说:“因为这位先生总要从他学习的东西中得到好处”。
埃及的亚历山大城,是东西海陆交通的枢纽,又经过托勒密王的刻意经营,逐渐成为新的希腊文化中心,希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及,以后移植于伊奥尼亚,其次繁盛于意大利和雅典,最后又回到发源地。经过这一番培植,已达到枝繁叶茂的胜景。
从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡,罗马成为地中海区域的统治者为止,希腊数学以亚历山大为中心,达到它的全盛时期。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波洛尼乌斯。
欧几里得总结古典希腊数学,用公理方法整理几何学,写成13卷《几何原本》。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了在公理法基础上建立起演绎数学体系的最早典范。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。过去所积累下来的数学知识,是零碎的、片断的,可以比作砖瓦木石;只有借助于逻辑方法,把这些知识组织起来,加以分类、比较,揭示彼此间的内在联系,整理在一个严密的系统之中,才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神,它对整个数学的发展产生了怎么评价都不为过的深远的影响。
欧几里得虽然是一个至少有十部著作的作者,而且其中五部被相当完整地保存下来,但是使他声名显赫的主要是《原本》一书。事实上,这部著作刚一出现,就受到最大的重视:从欧几里得的继承人直至现代,在论证一个特殊的定理和作图时,只要说根据欧几里得著作中的第几个命题就够了。除了圣经之外,没有任何著作像它这样被广泛地使用和研究;并且,没有别的著作对科学思想有如此巨大的影响。从1482年的第一个版本出版到现在,已出现一千多个版本;两千多年来,这部著作在几何教学中毫不动摇地占据着统治地位。
实际上,欧几里得的《原本》在作者那个时代的抄本已经找不到了。《原本》的现代版本都是以原著写成后约700年亚历山大里亚的泰奥恩的修订本为依据。直到19世纪初,我们才见到《原本》的更早的版本。1808年,拿破仑命令把有价值的书稿从意大利的图书馆运往巴黎;佩腊尔德在梵蒂冈图书馆发现欧几里得的《原本》的10世纪的版本,这比泰奥恩的修订本早。从对这个老版本的仔细研究中得知:原著的定义、公理和公设与后来的修订本有些区别,但是命题及其证明基本上保留了欧几里得写的原样。
《原本》的第一个完整的拉丁文译本,不是从希腊文译的,而是从阿拉伯文译的。在8世纪,希腊著作的一些拜占庭手抄本被阿拉伯人译出;而在1120年,英国学者、巴思的阿德拉特从这些较老的阿拉伯文译本之一翻译出《原本》的拉丁文译本。另一些拉丁译本是由克雷莫纳的格拉多以及比阿德拉特迟150年的由约翰尼斯·坎伯努斯从阿拉伯文翻译的。《原本》的第一个版本是1482年在威尼斯出版的,它包括坎帕努斯的译文。这部罕有的书制作精美,并且是第一部被出版的、有重要意义的数学书。一个重要的拉丁文译本是康曼丁那在1572年从希腊文译过来的。此译本成为以后许多译本工作的基础,也就是说许多英文版都是从它转译出的。《原本》的第一个完整的英文译本是1570年出版的不朽的比利斯利的译本。
对于这些,你完全可以忽略过去,因为,哪必定是版本学家或者欧几里得研究者的事情。
讲清楚在欧几里得《原本》之前,还曾经有过其他《原本》,丝毫不影响欧几里得著作的光辉。根据《欧德姆斯概要》,在这方面做过努力的第一个人是希俄斯的希波克拉底,第二个人是利昂,他生活于柏拉图和欧多克斯之间的某些时候。据说,利昂的著作,较之希波克拉底的,包括经过更加仔细精选的命题;并且,他书里的命题既比较多又比较适用。
柏拉图学园的课本是马格内西亚的修迪乌斯写的,人们称赞说,这是一部极佳的基本原理汇集。修迪乌斯的几何学看来曾是欧几里得的著作的直接先驱,并且,无疑是欧几里得可以利用的书;尤其是,如果他在柏拉图学园学习过的话。
欧几里得还熟悉狄埃泰图斯和欧多克斯的著作。因此,欧几里得的《原本》,也许,就其大部分来说,是对于早期作者著作的高度成功的编纂和系统的整理。
无疑,欧几里得必须提供大量的证明,并对许多其它证明加以完善,但是,他的著作的主要功绩还在于:对命题的巧妙选择和把它们排列进由少数初始假定出发演绎推导出的合乎逻辑的序列中。
和普遍的看法相反,欧几里得《原本》不是单讲几何的,它还包括相当多的数论和从几何角度讲述的初等代数。这部书有十三卷,共计465个命题。据说,美国中学的平面几何和立体几何的课本包括第一、三、四、六、十一和十二卷中的大量材料。中国的教材里如何反映《原本》的内容和反映了多少,我至今还没有见到过相关的分析。
说到这里,大家可能会急于知道欧几里得的《几何原本》究竟写了些什么。这里只能粗略地介绍一下各卷的内容,更为详细的解释就不是本书所能完成的了。
《几何原本》所使用的演绎法,与给人留下的印象正好相反,并没有那么复杂,欧几里得的伟大之处就在于他把以前纷乱零散的几何问题给梳理得异常简单,就像彻底地收拾了一遍房间。
这是一种重要的科学方法,我每个阶段,至少是每个学期都要让孩子做这样的一件事情,就是让孩子把她学过的东西做一个系统的梳理。通常,我是让女儿画一个树形图来让这种梳理更为形象。
再说欧几里得,他先拟订了几条“原则”,这几条“原则”每一条基本上就是一句话,统共也就10条,他把这些“原则”叫做“公理”和“公设”。然后,所有的一切都是从这10条公理和公设出发推算出来。
我们把这10条公理和公设列在下面,就好像赛跑的“起跑线”,读完它,以证明为特征的数学阶段就可以出发了。

公设
1. 由任意一点到任意一点可以作直线。
2. 一条有限直线可以继续延长。
3. 以任意的点为圆心及任意的线段为距离可以画圆。
4. 凡直角皆相等。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线某一侧的两个内角之和小于二直角,则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
公理
1. 等于同量的量彼此相等。
2. 等量加等量,其和仍相等。
3. 等量减等量,其差仍相等。
4. 彼此能够重合的物体是全等的。
5. 整体大于部分。

在教女儿学数学的时候,我尽量让孩子使用这些概念,养成使用这些概念和数学语言的习惯。
小学四年级数学课里有“两点之间可以做一条直线”的内容,让女儿表述这个内容的时候,我要求女儿这样说:“根据欧几里得《几何原本》公设一,由任意一点到任意一点可以做直线”。
有人会发出这样的疑问,这样绕一个圈子有什么意义吗?
有意义。如果我反问一句,会地方话干吗还要学普通话?当然,我主要是这样考虑的:
首先这不难,一共十句话对孩子不会有任何困难;其次,有助于孩子理解和习惯掌握公理系统;再者,这是标准的数学语言;还有,从小让孩子知道《几何原本》的分量,知道什么是好书,好书在哪里;最后,让孩子知道,数学的终极目的之一是让复杂变得简单,那才是“漂亮”的数学。
我曾经听过数学家发出这样的感叹:现在的孩子知道奥数书是干吗用的,却不知道《几何原本》究竟是写什么的书,难道这不是悲哀吗!我也深有同感。
欧几里得的几何大厦就是建立在这简单和一目了然的公理和公设上面的,或者也可以这样说,如果你有办法否定这里面的任何一条,那么你就等于推翻了欧几里得的几何大厦。
不证自明的简单明了的特点是任何学科公理和公设的基本特征,了解这些,是从事任何科学研究的起点,也是构成任何一个理论体系所必须要具备的条件。
以公理方式去处理演绎几何的科学方法,并不是欧几里得所首创的,在欧几里得之前已经有希腊数学家提出过有关问题。不过,《几何原本》中的公设和公理——以最少的公理和公设演绎证明最多的问题——却全部都是由欧几里得本人所选定。从后来历史的发展可以让我们体会到,这些公设和公理十分有代表性。透过深入地研究《几何原本》中的公理公设系统,我们更可再一次欣赏到欧几里得超凡的智慧!
读完上面的内容,如果由你来写《几何原本》这本书的话,第一卷很自然地会从公设和公理开始,是的,欧几里得恰恰也是这么做的。现在,任何科学著作或者论文,都基本上要遵循这样一个模式。
在公理和公设初步定义之后,欧几里得开始“起跑”,证明他提出来或者前人提出来的一系列问题。就像现在孩子们玩的,打开电脑,进入游戏界面,开始“闯关”了。
第一卷的48个命题分为三类:头26个主要是讨论三角形的性质,包括三个全等定理;从命题27到命题32建立平行线的理论,并证明三角形的三个内角之和等于两个直角;第一卷其余的命题讨论平行四边形、三角形和正方形,特别注意面积关系;命题47是毕达哥拉斯定理——我们也称之为勾股定理,附有证明;最后一个命题,即命题 48,是毕达哥拉斯定理的逆定理。第一卷的内容是早期毕氏学派发展的。
第二卷只有14个命题,讨论面积的变换和毕氏学派的几何式代数。
尤其有趣的是这卷命题的12和13,这两个命题合并在一起用现代语言来说,即:
在一个钝角(锐角)三角形中,该钝角(锐角)对边的平方等于三角形其余两边的平方和加上(减去)这两边之一与另一边在其上的投影之积的二倍。这两个命题是毕氏定理的推广,我们现在称之为“余弦定理”。
第三卷有39个命题,包括中学几何课本中许多关于圆、弦、割线、切线及有关角的量度的定理。
第四卷只有16个命题,讨论用直尺和圆规作正三角形,正四、五、六和十五边形;以及在给定圆内(外)作这些圆的内接(外切)正多边形。由于在毕氏学派的著作中很少见到《原本》第三卷和第四卷中给出的圆的几何学,也许这两卷书的材料是早期诡辩派和三个著名问题的研究者提供的。
第五卷是对欧多克斯比例理论的精彩的阐述。正是这个既可应用于可通约的量又可应用于不可通约的量的理论,消除了由于毕氏学派发现无理数而产生的“逻辑悖论”所导致的第一次数学危机。
如果有四个量,取第一量和第三量的任何相等的倍数,取第二量和第四量的任何相等的倍数,当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时,相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数,那么我们就说,第一量与第二量的比等于第三量与第四量的比。
欧多克斯的比例理论为数学分析的实数系提供了一个基础,后来又被戴德金和魏尔斯特拉斯发展了。
第六卷把欧多克斯的比例理论应用于平面几何。本卷书中的定理,几乎没有一个是早期毕氏学派不知道的,但是对于其中许多定理,欧多克斯之前的证明是错误的;因为它们是以不完全的比例理论为根据的。
第七、八、九卷总共包括102个命题,讲的是初等数论。
第七卷从求两个或两个以上整数的最大公约数的方法(今称为欧几里得算法)开始,并用它检验两个整数是否互素,其中还有关于数值的(或毕氏学派的)比例理论的一个解释。在本卷书中确立了数的许多基本性质。
第八卷大部分讲的是连比和有关的几何级数。
在第九卷中有一些重要的定理。命题 14等价于重要的算术基本定理,即:任何大于1的整数能以一种——且本质上仅有一种——方法表示成素数的乘积。
第九卷命题35,给出几何级数前n项和的公式的几何方法的推导。第九卷最后一个命题,即36,建立了完全数的著名公式。
命题20,素数有无限多个的欧几里得证明,已被数学家们普遍地认为是数学的典范,证明用的是间接方法。
第十卷讨论无理数,即讨论与某给定线段不可通约的线段。许多学者认为本卷书也许是《原本》中最重要的一卷。一般认为这卷书的大部分题材来源于狄埃泰图斯;但是使其充分完整、精心分类和最后完成则通常归功于欧几里得。我们很难相信,不借助于任何方便的代数符号,单凭抽象的推理就得出这卷书中的结论。
第十卷开始的命题是后面在第十二卷中采用穷竭法的基础,即:如果从任一量中减去不小于它的一半的部分,再从余下的部分中减去不小于它的一半部分,继续下去,则最后余下的量将小于任何指定的这种量。
余下的三卷书:第十一、十二、十三卷,讲立体几何,除了关于球体的论述外,其大部分内容在中学课本中通常都能找到。
关于空间中的直线和平面的定义、定理,以及关于平行六面体的定理,可在第十一卷中找到。穷竭法在第十二卷,论述体积时起重要作用。在第十三卷中叙述球的五种内接正多面体的作图法。
常有这样的说法,即欧几里得《原本》实际上只是想探讨五种正多面体。这个评价看来是很不全面的。一个比较适当的评价是:它是想要在当时起初级普通数学课本的作用。
“在几何命题中”,亚里士多德在他的《形而上学》一书中说,“我们把这样一些命题称为‘elements’,这些命题的证明包含于所有或大多数几何命题的证明之中。”选择作为学科的“elements”的定理,需要有相当的判断力,在这方面,欧几里得的《原本》比所有较早的著作要高明得人多。
《原本》的内容固然重要,但也许那些内容借以表现的形式更为重要。事实上,欧几里得《原本》已成为现代数学形式的原型。
诚然,古代希腊数学的最伟大的成就之一乃是思想的公理形式的确立。为了在演绎体系中建立一个陈述,必须证明这个陈述是前面建立的某些陈述的一个必然的逻辑结论;而那些陈述又必须由更早建立的一些陈述来建立等等。因为这个链条不能无限地继续往前推,开始总要接受有限个不用证明的陈述,否则就要犯循环推理的错误,这是不可饶恕的。
这些最初假定的陈述称为该学科的公设或公理,而该学科的所有其他陈述应该逻辑地隐含于它们之中,当一学科的陈述被这样排列时,我们就说这一学科被表示为公理或公设的形式。
欧几里得《原本》的表现形式对后代产生了如此深刻的影响,以致这部著作成了数学证明之典范。尽管17、18世纪欧几里得形式在相当程度上被抛弃,但是公理的方法在今天已经几乎渗透于数学的每一个领域,而许多数学家坚信:不仅数学思想是公理的思想,而且反之,公理的思想也是数学思想。一个相当现代的成果是一个称为公理学的研究领域的产生,旨在考察公理的集合及公理思想的一般性质。
大多数古代希腊数学家和哲学家把“公设”和“公理”加以区别。至少有三点区别是各方面都赞成的。

1.公理是关于某事物的自明的、假定的陈述;公设是某事物的自明的、假定的作图。这样,公理和公设彼此之间的关系就很像定理和作图问题之间存在的关系。
2.公理是对于所有科学通用的假设;公设是所研究的特殊科学所特有的假设。
3.公理是对于学习者既明显又可接受的假设;公设是对于学习者既不一定明显又不一定可接受的假设。现代数学中既不区分它们,也不考虑作为自明的或明显性质。有些古代希腊人也倾向于这种观点。

《原本》旨在从这十条陈述出发推导出所有的465个命题!
从已知的和比较简单的推出未知的和比较复杂的,这种推理称为综合,这直接导致新的发现和发明的诞生。无疑,其逆过程,即把未知的和比较复杂的归结到已知的和比较简单的,这种归结称为分析;分析,在发现许多定理的证明过程中起作用,而对该学科的阐发不起作用。
《几何原本》的译名虽然称为“几何”,但事实上它是一本集合了平面几何、比例论、数论、无理量论和立体几何大成之书。故此,近代学者已渐渐将此书改称为《原本》,删去“几何”两字。当中包括的不少重要的数学命题(难题),在现今的中学——甚至是大学课程之中,亦有教授。

【转载】孩子从哪儿获得解题思路

孩子从哪儿获得解题思路
任何一个受过正规初等教育的人都知道阿基米德这个名字。我们的孩子自然也应该知道,知道得越早越好。
后人对阿基米德给以极高的评价,常把他和英国的牛顿、德国的高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。与其贡献不太相配的是,他的生平没有详细记载,但关于他的许多故事却广为流传。
阿基米德 ,古希腊伟大的数学家、力学家。生于地中海西西里岛的叙拉古,卒于同地。早年在当时的文化中心亚历山大跟随欧几里得的学生学习,以后和亚历山大的学者保持紧密联系,因此他算是亚历山大学派的成员。
据说他确立了力学的杠杆定律之后,曾发出豪言壮语:“给我一个支点,我就可以翘动地球!”
孩子学习数学有困难,很多情况下是由于思路不够开阔。我们说那个孩子特别聪明的时候,多数情况下是在称赞孩子那不寻常的思路。所以,开阔孩子的思路是孩子学好数学的一条必须要走的路。但是,如果你仔细分析,我们今天所赞赏的那些聪明孩子的思路并不新鲜,我们感到惊奇的倒是孩子从那里获得的这些思路。事实上,这些思路百分之九十九都是通过学习获得的,只有很少一部分是灵光乍现的结果。
我们可以分析一下那些优秀教师课堂上的教学方法。他们会先讲一段非常精彩的故事,在从这个故事的分析中总结、抽象出一个思路,然后,用这个思路来求解一些例题,随后通过练习来巩固学生的学习和提高熟练程度,接着会再来一些这类题的变形,再通过练习使学生能够举一反三,最后再归纳总结一遍。这是一个比较完整的过程。
简单说吧,这个过程就是:故事、抽象出思路、示范解题、练习、变形、再练习、总结。一共七步,缺一不可。
我们孩子现在的问题是,他们很少获得故事开头的数学教学,而大量的教学实践说明,即使是在大学里,学生对于那些伴随着精彩故事的学习总是最受欢迎。我在北京大学做访问学者的时候,著名经济学家肖灼基是我的导师,两年的学习里,没有一节课是没有故事的,而他还不是最会讲故事的。
在我给女儿讲用间接法求解难题时,我就曾经给她讲过阿基米德的一个故事。
故事说的是,叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠,因怀疑里面掺有银子,便请阿基米德鉴定一下,由于没有相应的仪器,阿基米德很发愁。当他进入浴盆洗澡时,水漫溢到盆外,于是悟得不同质料的物体,虽然重量相同,但因体积不同,排去的水也必不相等。根据这一道理,就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来,赤身奔回家中,口中大呼:“尤里卡!尤里卡!”(希腊语意思是“我找到了”)他将这一流体静力学的基本原理,即物体在液体中减轻的重量,等于排去液体的重量总结在他的名著《论浮体》中,后来以“阿基米德原理”著称于世。
从某种角度来说,孩子们所学习的数学没有一个地方没有故事,这些故事不仅使得数学学习由枯燥变得生动有趣,而且,这些故事本身还包含数学家解题的独特思路,也正是这些独特的思路,使得他们解决了前人和同时代的其他人所没有解决的问题。
传说在阿基米德晚年,在叙拉古与它的盟国罗马共和国分裂后,罗马派了一支舰队来围城。当时阿基米德负责城防工作,他设计制造了一些灵巧的机械来摧毁敌人的舰队。他用投火器将燃烧的东西弹出去烧敌人的船舰,用一些起重机械把敌人的船只吊起掀翻,以至后来罗马人甚至不敢过分靠近城墙,只要看见城墙出现像绳子之类的玩意儿,就吓得赶快逃跑。
然而三年以后,即在公元前212年,该城还是被攻陷了。
据说罗马兵入城时,统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能,曾下令不准伤害这位贤能。而阿基米德似乎并不知道城池已破,又重新沉迷于数学的深思之中。
一个罗马士兵突然出现在他面前,命令他到马塞拉斯那里去,遭到阿基米德的严词拒绝,于是阿基米德不幸死在了这个士兵的刀剑之下。
另一种说法是:罗马士兵闯入阿基米德的住宅,看见一位老人在地上埋头作几何图形,士兵将图踩坏,阿基米德怒斥士兵:“不要弄坏我的圆!”士兵拔出短剑,这位旷世绝伦的大科学家,竟如此不幸地在愚昧无知的罗马士兵手下丧生。
统率马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛。他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决,并为阿基米德修了一座陵墓,在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿,刻上了“圆柱容球”这一几何图形——一个有内切球体的圆柱体图案。
随着时间的流逝,阿基米德的陵墓被荒草湮没了。后来,西西里岛的会计官、政治家、哲学家西塞罗(公元前106~前43年)游历叙拉古时,在荒草丛中发现了一块刻有圆柱容球图形的墓碑,依此辩认出这就是阿基米德的坟墓,并将它重新修复了。
阿基米德为什么希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形呢?这是因为,阿基米德在他的许许多多的科学发现当中,以圆柱容球定理最为得意。
《论球与圆柱》,这是他的得意杰作,包括许多重大的成就。他从几个定义和公理出发,推出关于球与圆柱面积、体积等50多个命题。
《平面图形的平衡或其重心》,从几个基本假设出发,用严格的几何方法论证力学的原理,求出若干平面图形的重心。
《数沙者》,设计一种可以表示任何大数目的方法,纠正有的人认为沙子是不可数的,即使是可数也无法用算术符号表示的错误看法。
《论浮体》,讨论物体的浮力,研究了旋转抛物体在流体中的稳定性。阿基米德还提出过一个“群牛问题”,含有八个未知数。最后归结为一个二次不定方程。其解的数字大得惊人,共有20多万位! 阿基米德当时是否已解出来倒是值得怀疑。
阿基米德将欧几里得提出的趋近观念作了有效的运用,他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形,当边数足够大时,两多边形的周长便一个由内,一个由外的趋近于圆周长。他先用六边形,以后逐次加倍边数,到了九十六边形,求出π的估计值介于3.14163和3.14286之间。
除此以外,还有一篇非常重要的著作,是一封给埃拉托斯色尼的信,内容是探讨解决力学问题的方法。这是1906年丹麦语言学家海贝格在土耳其伊斯坦布尔发现的一卷羊皮纸手稿,原先写有希腊文,后来被擦去,重新写上宗教的文字。幸好原先的字迹没有擦干净,经过仔细辨认,证实是阿基米德的著作。后来以《阿基米德方法》为名刊行于世。在数学史方面,阿基米德方法是最为惊人的发现。
《阿基米德方法》主要讲根据力学原理去发现问题的方法。他把一块面积或体积看成是有重量的东西,分成许多非常小的长条或薄片,然后用已知面积或体积去平衡这些“元素”,找到了重心和支点,所求的面积或体积就可以用杠杆定律计算出来。他把这种方法看作是严格证明前的一种试探性工作,得到结果以后,还要用归谬法去证明它。他用这种方法取得了大量辉煌的成果。
阿基米德的方法已经具有近代积分的思想。然而他没有说明这种“元素”是有限多还是无限多,也没有摆脱对几何的依赖,,更没有使用极限方法。尽管如此, 他的思想是具有划时代意义的,无愧为近代积分学的先驱。
他还有许多其他的发明,没有一个古代的科学家像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体,将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。
在他的研究中,先假设,再以严谨的逻辑推论得到结果,他不断地寻求一般性的原则而用于特殊的工程上。他的作品始终融合数学和物理,因此阿基米德也成为物理学之父。
《阿基米德方法》的中心思想是:要计算一个未知量,先将它分成许许多多的微小量,再用另一组微小量来和它比较——通常是建立一个杠杆,找一个合适的支点,使前后两组微小量取得平衡——而后者的总体该是较易计算的。你可以把它叫做“天平方法”。于是通过比较,即可求出未知量来。这实质上就是积分法的基本思想。阿基米德的睿智,业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了。阿基米德运用这种富有启发性的方法,获得大量的辉煌成果,为后人开辟了一个广阔的领域。
历史上有的数学家勇于开辟新的园地,而缺乏慎密的推理;有的数学家偏重于逻辑证明,而对新领域的开拓却徘徊不前。阿基米德则兼有二者之长,他常常通过实践直观地洞察到事物的本质,然后运用逻辑方法使经验上升为理论(如浮力问题)再用理论去指导实际工作(如发明机械)。没有一位古代的科学家,像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体,将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合在一起。对于家长的意义,阿基米德方法是使孩子获得解题思路最为适宜的方法之一。